Práctica Sección 1.4 Resuelta

Publicado por Gio M en 15:49
PRÁCTICA 1.4 MATEMÁTICA DISCRETA

(A) Demuestre P a partir de
1. (¬P v ¬Q) -> (R y S)
2. R->T
3. ¬T

(B) Demuestre P y Q a partir de
1. Q -> ¬R
2. P v R
3. Q

(C) Demuestre D a partir de
1. A -> (B v C)
2. B -> C
3. A v D
4. ¬C

(D) Demuestre S a partir de
1. P -> Q
2. Q -> R
3. P v (T y S)
4. ¬R

(E) Demuestre U a partir de
1. P -> Q
2. Q -> (R y S)
3. ¬R y ¬T v U
4. P y T

(F) Demuestre R y (P v Q) a partir de
1. P v Q
2. Q -> R
3. P -> T
4. ¬T

(G) Demuestre ¬(L y D) a partir de
1. V -> (R v P)
2. R -> ¬V
3. L -> ¬P
4. V

(H) Demuestre Q v T a partir de
1. P -> Q
2. ¬R -> (S -> T)
3. R v P v S
4. ¬R

(I) Demuestre T a partir de
1. (P v Q) -> (R y S)
2. ¬(¬P v ¬R)
3. ¬T -> ¬(P y S)

(J) Demuestre ¬U a partir de
1. (Q y R) -> ¬P
2. ¬Q -> S
3. R v T
4. P
5. U -> (¬S y ¬T)

(K) Demuestre P a partir de
1. (¬P v Q) -> R
2. R -> (S v T)
3. ¬S y ¬U
4. ¬U -> ¬T

(L) Demuestre ¬(T y ¬U) a partir de
1. (R v Q) -> ¬T
2. ¬Q v R
3. P v Q
4. P -> (R y S)

(M) Demuestre una Fº a partir de
1. (S v T) v (T y K)
2. ¬(T y K)
3. ¬T
4. (R v S) -> (T y K)

(N) Demuestre ¬R -> ¬T a partir de
1. P -> (Q -> R)
2. P v S
3. T -> Q
4. ¬S

(O) Demuestre ¬(T -> A) a partir de
1. E
2. ¬P v Q
3. E -> (B y ¬Q)
4. A -> (P y C)
5. T

(P) Demuestre S v ¬T a partir de
1. P y ¬R
2. (R -> S) -> (P -> Q)
3. (Q v T) -> (S v R)

(Q) Demuestre x = 5 a partir de
1. (z > x) -> (x < x =" 3)]"> (z > x)
3. (x < z =" 8)">= 7) v (x = 5)

(R) Demuestre T -> A a partir de
1. Q -> S
2. ¬P -> Q
3. P -> (R y S)
4. A v ¬S

(S) Demuestre T a partir de
1. P v Q
2. ¬R v ¬P
3. S -> R
4. T v S
5. R -> ¬Q

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RESOLUCIÓN DE LA PRÁCTICA
PRÁCTICA 1.4 PÁGINA 70!

===================================================================
(A) Demuestre P a partir de
1. (¬P v ¬Q) -> (R y S)
2. R->T
3. ¬T
----------------------------
4. ¬R, MODUS TOLLENDO TOLLENS 2 3
5. ¬R v ¬S, ADICIÓN 4
6. ¬(R y S), DOBLE NEGACIÓN + DE MORGAN 5
7. ¬(¬P v ¬Q), MODUS TOLLENDO TOLLENS 1 6
8. P y Q, DOBLE NEGACIÓN + DE MORGAN 7
9. P, SIMPLIFICACIÓN 8
===================================================================
(B) Demuestre P y Q a partir de
1. Q -> ¬R
2. P v R
3. Q
----------------------------
4. ¬R, SEPARACIÓN 1 3
5. P, SILOGISMO DISYUNTIVO 2 4
6. P y Q, ADJUNCIÓN 3 5
===================================================================
(C) Demuestre D a partir de
1. A -> (B v C)
2. B -> C
3. A v D
4. ¬C
----------------------------
5. ¬B, MODUS TOLLENDO TOLLENS 2 4
6. ¬B y ¬C, ADJUNCIÓN 4 5
7. ¬(B v C), DOBLE NEGACIÓN + DE MORGAN 6
8. ¬A, MODUS TOLLENDO TOLLENS 1 7
9. D, SILOGISMO DISYUNTIVO 3 8
===================================================================
(D) Demuestre S a partir de
1. P -> Q
2. Q -> R
3. P v (T y S)
4. ¬R
----------------------------
5. ¬Q, MODUS TOLLENDO TOLLENS 2 4
6. ¬P, MODUS TOLLENDO TOLLENS 1 5
7. T y S, SILOGISMO DISYUNTIVO 3 6
8. S, SIMPLIFICACIÓN 7
===================================================================
(E) Demuestre U a partir de
1. P -> Q
2. Q -> (R y S)
3. ¬R y ¬T v U
4. P y T
----------------------------
5. P, SIMPLIFICACIÓN 4
6. Q, SEPARACIÓN 1 5
7. R y S, SEPARACIÓN 2 6
8. R, SIMPLIFICACIÓN 7
9. R v T, ADICIÓN 8
10. ¬(R v T) v U, DOBLE NEGACIÓN + DE MORGAN 3
11. ¬¬(R v T) DOBLE NEGACIÓN 9
12. U, SILOGISMO DISYUNTIVO 10 11
===================================================================
(F) Demuestre R y (P v Q) a partir de
1. P v Q
2. Q -> R
3. P -> T
4. ¬T
----------------------------
NOTA: R y (P v Q) <-> (R y P) v (R y Q)
5. ¬T -> ¬P, CONTRAPOSITIVA 3
6. ¬P, SEPARACIÓN 4 5
7. Q, SILOGISMO DISYUNTIVO 1 6
8. ¬Q v R, IMPLICACIÓN Y DISYUNCIÓN 2
9. ¬¬Q, DOBLE NEGACIÓN 7
10. R, SILOGISMO DISYUNTIVO 8 9
11. R y Q, ADJUNCIÓN 7 10
12. (R y Q) v (R y P), ADICIÓN 11
13. R y (P v Q), LEYES DISTRIBUTIVAS 12
===================================================================
(G) Demuestre ¬(L y D) a partir de
1. V -> (R v P)
2. R -> ¬V
3. L -> ¬P
4. V
----------------------------
5. R v P, SEPARACIÓN 1 4
6. ¬¬V, DOBLE NEGACIÓN 4
7. ¬R, MODUS TOLLENDO TOLLENS 2 6
8. P, SILOGISMO DISYUNTIVO 5 7
9. ¬¬P, DOBLE NEGACIÓN 8
10. ¬L, MODUS TOLLENDO TOLLENS 3 9
11. ¬L v ¬D, ADICIÓN 10
12. ¬(L y D), DOBLE NEGACIÓN + DE MORGAN 11
===================================================================
(H) Demuestre Q v T a partir de
1. P -> Q
2. ¬R -> (S -> T)
3. R v P v S
4. ¬R
----------------------------
5. (S -> T), SEPARACIÓN 2 4
6. R v (P v S), ASOCIACIÓN 3
7. P v S, SILOGISMO DISYUNTIVO 4 6
8. Q v S, DILEMA CONSTRUCTIVO 1 5 7
===================================================================
(I) Demuestre T a partir de
1. (P v Q) -> (R y S)
2. ¬(¬P v ¬R)
3. ¬T -> ¬(P y S)
----------------------------
4. P y R, DOBLE NEGACIÓN + DE MORGAN 2
5. P, SIMPLIFICACIÓN 4
6. P v Q, ADICIÓN 5
7. R y S, SEPARACIÓN 1 6
8. S, SIMPLIFICACIÓN 7
9. P y S, ADJUNCIÓN 5 8
10. ¬¬(P y S), DOBLE NEGACIÓN 9
11. T, SEPARACIÓN + DOBLE NEGACIÓN 3 10
===================================================================
(J) Demuestre ¬U a partir de
1. (Q y R) -> ¬P
2. ¬Q -> S
3. R v T
4. P
5. U -> (¬S y ¬T)
----------------------------
6. ¬¬P, DOBLE NEGACIÓN 4
7. ¬(Q y R), MODUS TOLLENDO TOLLENS 1 6
8. ¬Q v ¬R, DE MORGAN 7
9. ¬R -> T, IMPLICACIÓN Y DISYUNCIÓN 3
10. S v T, DILEMA CONSTRUCTIVO 2 8 9
11. ¬¬(S v T), DOBLE NEGACIÓN 10
12. U -> ¬(S v T), DE MORGAN 5
13. ¬U, MODUS TOLLENDO TOLLENS 11 12
===================================================================
(K) Demuestre P a partir de
1. (¬P v Q) -> R
2. R -> (S v T)
3. ¬S y ¬U
4. ¬U -> ¬T
----------------------------
5. ¬U, SIMPLIFICACIÓN 3
6. ¬T, SEPARACIÓN 4 5
7. ¬S, SIMPLIFICACIÓN 3
8. ¬S y ¬T, ADJUNCIÓN 6 7
9. ¬(S v T), DE MORGAN 8
10. ¬R, MODUS TOLLENDO TOLLENS 2 9
11. ¬(¬P v Q), MODUS TOLLENDO TOLLENS 1 10
12. P y ¬Q, DOBLE NEGACIÓN + DE MORGAN 11
13. P, SIMPLIFICACIÓN 12
===================================================================
(L) Demuestre ¬(T y ¬U) a partir de
1. (R v Q) -> ¬T
2. ¬Q v R
3. P v Q
4. P -> (R y S)
----------------------------
5. Q -> R, IMPLICACIÓN Y DISYUNCIÓN 2
6. R v (R y S), DILEMA CONSTRUCTIVO 3 4 5
7. R, ABSORCIÓN 6
8. R v Q, ADICIÓN 7
9. ¬T, SEPARACIÓN 1 8
10. ¬T v U, ADICIÓN 9
11. ¬(T y ¬U), DOBLE NEGACIÓN + DE MOGAN 10
===================================================================
(M) Demuestre una Fº a partir de
1. (S v T) v (T y K)
2. ¬(T y K)
3. ¬T
4. (R v S) -> (T y K)
----------------------------
5. ¬(R v S) v (T y K), IMPLICACIÓN Y DISYUNCIÓN 4
6. S v [ T v (T y K)], ASOCIACIÓN 1
7. S v T, ABSORCIÓN 6
8. S, SILOGISMO DISYUNTIVO 3 7
9. R v S, CONMUTATIVIDAD + ADICIÓN 8
10. (T y K), SEPARACIÓN 4 9
11. (T y K) y ¬(T y K), ADJUNCIÓN 2 10
12. Fº, INVERSOS 11
===================================================================
(N) Demuestre ¬R -> ¬T a partir de
1. P -> (Q -> R)
2. P v S
3. T -> Q
4. ¬S
----------------------------
NOTA: (¬R -> ¬T) <-> (R v ¬T)
5. P, SILOGISMO DISYUNTIVO 2 4
6. (Q -> R), SEPARACIÓN 1 5
7. T -> R, SILOGISMO HIPOTÉTICO 3 6
8. ¬R -> ¬T, CONTRAPOSITIVA 7
===================================================================
(O) Demuestre ¬(T -> A) a partir de
1. E
2. ¬P v Q
3. E -> (B y ¬Q)
4. A -> (P y C)
5. T
----------------------------
NOTA: ¬(T -> A) <-> T y ¬A
6. B y ¬Q, SEPARACIÓN 1 3
7. ¬Q, SIMPLIFICACIÓN 6
8. ¬P, SILOGISMO DISYUNTIVO 2 7
9. ¬P v ¬C, ADICIÓN 8
10. ¬(P y C), DOBLE NEGACIÓN + DE MORGAN 9
11. ¬A, MODUS TOLLENDO TOLLENS 4 10
12. T y ¬A, ADJUNCIÓN 5 11
13. ¬(T -> A), NEGACIÓN DE IMPLICACIÓN 12
===================================================================
(P) Demuestre S v ¬T a partir de
1. P y ¬R
2. (R -> S) -> (P -> Q)
3. (Q v T) -> (S v R)
----------------------------
5. ¬R, SIMPLIFICACIÓN 1
6. ¬R v S, ADICIÓN 5
7. R -> S, IMPLICACIÓN Y DISYUNCIÓN 6
8. P -> Q, SEPARACIÓN 2 7
9. ¬P v Q, IMPLICACIÓN Y DISYUNCIÓN 8
10. P, SIMPLIFICACIÓN 1
11. ¬¬P, DOBLE NEGACIÓN 10
12. Q, SILOGISMO DISYUNTIVO 11 9
13. Q v T, ADICIÓN 12
14. S v R, SEPARACIÓN 3 13
15. S, SILOGISMO DISYUNTIVO 5 14
16. S v ¬T, ADICIÓN
===================================================================
(Q) Demuestre x = 5 a partir de
1. (z > x) -> (x <>
2. [(x < x =" 3)]"> (z > x)
3. (x < z =" 8)
Por lo tanto podríamos decir, Demuestre H a partir de
1. P -> Q
2. (R v S) -> P
3. R y T
4. ¬Q v H

----------------------------
5. R, SIMPLIFICACIÓN 3
6. R v S, ADICIÓN 5
7. P, SEPARACIÓN 2 6
8. Q, SEPARACIÓN, 1 7
9. ¬¬Q, DOBLE NEGACIÓN 8
10. H, SILOGISMO DISYUNTIVO 4 9

Y así, queda demostrado que x = 5 y además que Q >= 7.
===================================================================
(R) Demuestre T -> A a partir de
1. Q -> S
2. ¬P -> Q
3. P -> (R y S)
4. A v ¬S
----------------------------
NOTA: (T -> A) <-> ¬T v A
5. ¬P -> S, SILOGISMO HIPOTÉTICO 1 2
6. ¬S -> P, CONTRAPOSITIVA 5
7. ¬S -> (R y S), SILOGISMO HIPOTÉTICO 3 6
8. S v (R y S), IMPLICACIÓN Y DISYUNCIÓN 7
9. S, ABSORCIÓN 8
10. ¬¬S, DOBLE NEGACIÓN 9
11. A, SILOGISMO DISYUNTIVO 4 10
12. ¬T v A, ADICIÓN + CONMUTATIVIDAD 11
13. (T -> A), IMPLICACIÓN Y DISYUNCIÓN
===================================================================
(S) Demuestre T a partir de
1. P v Q
2. ¬R v ¬P
3. S -> R
4. T v S
5. R -> ¬Q
---------------------
6. ¬T -> S, IMPLICACIÓN Y DISYUNCIÓN 4
7. ¬T -> R, SILOGISMO HIPOTÉTICO 3 6
8. ¬T -> ¬Q, SILOGISMO HIPOTÉTICO 5 7
9. ¬Q -> P, CONMUTATIVIDAD + IMPLICACIÓN Y DISYUNCIÓN 1
10. ¬T -> P, SILOGISMO HIPOTÉTICO 8 9
11. P -> ¬R, CONMUATIVIDAD + IMPLICACIÓN Y DISYUNCIÓN 2
12. ¬T -> ¬R, SILOGISMO HIPOTÉTICO 10 11
13. (¬T -> R) y (¬T -> ¬R), ADJUNCIÓN 7 12
14. (T v R) y (T v ¬R), IMPLICACIÓN Y DISYUNCIÓN 13
15. T y (R v ¬R), LEYES DISTRIBUTIVAS 14
16. T y Tº, INVERSOS 15
17. T, NEUTRO 16


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